MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO, m.c.m y M.C.D.

 MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO. 

    Los múltiplos de un número, son los números que se obtienen al multiplicar dicho número por cada uno de los números naturales. 

    Ejemplo: 2 x 2 = 4. Por lo tanto, 4 es múltiplo de 2. 

EJEMPLO DE LOS MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO. 

    Por ejemplo, Javier va a la piscina cada 3 días. Si queremos saber cuantos días va a la piscina en un mes que tiene 31 días ; ¿Cómo lo calculamos?

    Pues en este caso tenemos que saber cuáles son los múltiplos de 3 y cuántos múltiplos de 3 habría en 31 días. 

Múltiplos de 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.

    Cómo podemos ver en el ejemplo anterior, en total en 31 días hay 10 múltiplos de 3. Por lo tanto, iría 10 días en un mes de 31 días. 

m.c.m (Mínimo Común Múltiplo). 

    El mínimo común múltiplo, consiste en descubrir cuáles son los números que se repiten en los múltiplos que comparten varios números. Este proceso se utiliza para resolver situaciones en las que nos piden por ejemplo cuando salen varios autobuses en distintos horarios y queremos conocer cuando coinciden de nuevo, saliendo éstos en horarios distintos. 

    Para ayudarnos, podemos identificar en el planteamiento las siguientes palabras claves y frases comunes. 

Palabras clave y frases comunes:

• Coincidir / Coincidirán: Pista principal cuando varios sucesos ocurren con distinta frecuencia. 
• Volver a/ volverán a: Ejemplo: "Volverán a encontrarse", "Volverán a salir juntos". 
• Simultáneamente / Al mismo tiempo / A la vez: Indica que las acciones ocurren juntas. 
• Repetir / Frecuencia: Términos relacionados con eventos periódicos (ej: cada 3 día, cada 5 días, etc). 
• Mínimo / Menor / Menor tiempo: Cuando se busa el menor múltiplo común. 
• Encontrarse / Cruzarse: Contextos de movimientos o rutas. 

EJEMPLO de  m.c.m.

    Ejemplo. Salen 3 autobuses a partir de las 9:00 horas. El primero sale cada 5 minutos, el segundo cada cada 8 y el tercero cada 10 minutos. 

    En este caso, por ejemplo, tendríamos que buscar el número que se repita (común) y que sea múltiplos de  8, 5 y 12. 

    Para ello tenemos que calcular los múltiplos de los 3 números:

•  5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50.
•  8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56. 
• 10 = 10, 20, 30, 40, 50. 

    Cómo podemos observar, el número múltiplo más pequeño que es común (repite) a los tres es el número de 40. Con lo cuál, quiere decir que volverán a coincidir a los 40 minutos. Si salen a las 9:00 volverán a coincidir a las 9:40. 

    Este procedimiento nos ayuda para entender el procedimiento para obtener el mínimo común múltiplo. En el caso que tengamos que averiguar número grandes este sistema nos llevaría mucho tiempo. Por eso, se propone otro método que consiste en descomponer en factores primos de los números. 

Por ejemplo: 

• 5 = 5. 
• 8 = 2 x 2 x 2 (2³). 
• 10 = 2 x 5. 

    Para averiguar el m.c.m (mínimo común múltiplo), tenemos que ELEGIR los factores QUE SE REPITEN Y QUE NO SE REPITEN con el MAYOR EXPONENTE. En este caso, elegimos el 2³ y el 5. El 2³ se elige porque NO SE  REPITE EN LOS TRES NÚMEROS y es el MAYOR EXPONENTE. El 5 se eligen porque NO SE REPITE Y EL ÚNICO EXPONENTE ES EL 1. 

m.c.m (5, 8, 10) =  2³ x  5 = 2³ (2 x 2 x 2) x 5 = 8 x 5 = 40. 

  

DIVISORES DE UN NÚMERO.

  Los divisores de un número, son aquellos números que al dividirlo se obtiene de resto cero. 

    Ejemplo: 4 / 2 = 2. Por lo tanto, decimos que 2 es divisor de 4 ya que al dividirlo entre 2 la división da exacta. 

    Vamos a explicar estos conceptos en una situación práctica. 

EJEMPLO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO. 

    Por ejemplo, Hugo está ordenando los balones de su cuarto y quiere agruparlos en bolsas. En total tiene 48 balones. Quiere saber de cuántas maneras puede agruparlos sin que sobre ninguno y aprovechar el espacio de su cuarto con el menor número de bolsas posibles.

    Si tiene 48 balones y quiere agruparlo en bolsas sin que sobre ninguno. Lo que quiere hacer Hugo es organizar los balones en grupos sin que sobre ningún balón. Cómo máximo puede utilizar entre 6, 8 y 12 bolsas. En este caso, se tiene que conocer los divisores del número 48, es decir, entre qué números se puede dividir el número 48 sin que sobre ninguno y ver de cuantas maneras puede agrupar los balones hasta tener entre 6, 8 y 12 bolsas. 

RESOLUCIÓN. 

• 48 balones lo puedo agrupar en bolsas de 1, de 2, de 3, de 4, de 6, de 8, de 12, de 24 y de 48. 

DE CUÁNTAS MANERAS PODEMOS AGRUPAR LOS BALONES. 

• Si lo agrupamos en bolsas de 1, tendremos que comprar 48 bolsas. 
• Si lo agrupamos en bolsas de 2, tendremos que comprar 24 bolsas. 
• Si lo agrupamos en bolsas de 3, tendremos que comprar 16 bolsas.
• Si lo agrupamos en bolsas de 4, tendremos que comprar 12 bolsas.
• Si lo agrupamos en bolsas de 6, tendremos que comprar 8 bolsas. 
• Si lo agrupamos en bolsas de 8, tendremos que comprar 6 bolsas. 
• Si lo agrupamos en bolsas de 12, tendremos que comprar 4 bolsas. 
• Si lo agrupamos en bolsas de 24, tendremos que comprar 2 bolsas. 
• Si lo agrupamos en bolsas de 48, tendremos que comprar 1 bolsa. 

    Si tenemos en cuenta que cómo máximo puede utilizar 6, 8 y 12 bolsas, las opciones posibles sería agrupar los balones en bolsas de 4, de 6 y de 8. 

M.C.D. (Máximo Común Divisor). 

    El M.C.D es un procedimiento que utilizamos para conocer el número que se repite (común) y que es divisor entre varios números. Sirve para resolver problemas de reparto equitativo o división de objetos en grupos iguales. Hay pistas que nos dicen cuando tenemos que aplicar este método.

Por ejemplo, existen palabras claves para utilizar el M.C.D. tales como:

• Palabras Clave de Acción: Dividir, repartir, cortar, agrupar, trocear. 
• Palabras Clave de Magnitud: Máximo, mayor, más grande, más amplio, máxima longitud. 
• Palabras Clave de Igualdad: Misma cantidad, parte igual, tamaño idéntico. 

CUANDO USAR EL M.C.D:

• Se necesita dividir objetos en trozos más pequeños de igual longitud.
• Se requiere repartir elementos en grupos iguales.
• Se busca obtener la mayor cantidad o el tamaño máximo posible sin que sobre nada.
• El resultado buscado es menor o igual que los números del enunciado. 

EJEMPLO de M.C.D. 

    Estamos organizando nuestra clase y queremos hacer un corcho utilizando 

el máximo espacio posible. Las dimensiones que tenemos en el hueco es de 24 centímetros 

ancho y 12 centímetros de alto. 

    En este caso, tenemos que averiguar el divisor que se repite en ambos números y que sea 

más grande entre el 12 y el 24. Para ello, enumeramos los divisores del 12 y del 24:

• Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. 

    Como podemos observar en este caso, el divisor que es común  y mayor de los dos 

números es el 12. 

    Este método, puede ser útil para números pequeños, pero para grandes cantidades, 

se utiliza otro procedimiento. En este caso, se descompone, como en el m.c.m, los números en factores. Una vez descompuesto en factores se ELIGEN losFACTORES COMUNES CON SU MENOR EXPONENTE.

• Se descomponen los números 12 y 24 en factores.
• 12 = 2² x 3
• 24 =  2³ x 3

    Aplicando la fórmula que hemos comentado anteriormente, se ELIGEN LOS FACTORES 2² x 3, que se REPITEN  y que son de MENOR EXPONENTE.

• Por lo tanto, el MCD (12, 24) =  2² x 3 (4 X 3) = 12.

    Lo cual quiere decir que el tamaño máximo del corcho es de 12 centímetros.